∂H/∂q = (∂U/∂q - ∂c/∂q)*e^(-rt) - a=0

今から１年と４ヶ月程前にこのタイトルの数式と出会った。
∂H/∂q = (∂U/∂q - ∂c/∂q)*e^(-rt) - aq=0

そして僕は全く理解出来ずに、自信を喪失して資源経済学という授業をドロップした。

この数式は長期の時間に置ける効用の最大化問題を解く上で使われるハミルトニアンという物のFirst order conditionで、この数式を元に最適な投資量を解く。ちょっと難しい経済学では必須の式だ。

全く理解出来なかったその日に僕はこの数式を壁に張り、ドロップした後も毎日毎日これを理解しようと粘った。

そして一年経った今年の８月にも理解出来なかった。

いや、確実に前進はしていた。しかし、ハミルトニアンで作った条件をこの公式に変換する行程が解らなかったのだ。

さて、では今僕はこの式を理解しているのだろうか？

答えはノーだ。

僕は未だにどのような変換でラグランジアンからハミルトニアンへ移行しているのかが解らない。

しかし、もし教授が僕に「でも、これを使って色々な分析は出来るかい？」と聞けば、

答えはイエスだ。例えば以下の様な変換を行えば

∂a/∂t = -∂H/∂S = ∂C/∂S * e^(-rt)

∂a/∂t = -r*(∂U/∂q - ∂c/∂q)*e^(-rt) + (d/dt)*(∂U/∂q - ∂c/∂q)*e^(-rt) = ∂C/∂S * e^(-rt)

(d/dt)*(∂U/∂q - ∂c/∂q) = ∂C/∂S + r*(∂U/∂q - ∂c/∂q)

このような結果が得られる。
この結果がホテリングルールと呼ばれ、資源を１単位時間おいておく事によって増える収入は掘った物を銀行に貯金したことによって得られる利子の値と同等になる事を意味する。

様々なモデルで使えば様々な条件が得られる。

そして明日この授業の試験がある。

大学院生活で始めてでそして最大の挫折を味合わせてきた授業を明日終える。

もう勉強は散々にした。１年半も。この授業の為だけに数式とモデルを２２ページ分も理解して覚えた。

ただ明日は頭の中にある事を４時間使って書くのみ。

さて、寝ましょう。

明日の試験が終わった時に悔いが残らない様に。

問題をしっかり読めます様に。